Question

16．已知函数$f（x）=\left\{{\;}\right._{2f（x-2），x∈（0，+∞）}^{1-|x+1|，x∈[-2，0]}$，则下列说法中错误的是（　　）

• A． f（x）的单调递减区间为[2n-3，2n-2]（n∈N*）
• B． f（x）的值域为[0，+∞）
• C． 方程f（x）=1在区间[-2，2n]上所有根的个数为2n+1（n∈N）
• D． 若方程f（x）=x+2在区间[-2，4]内有3个不等实根，则实数的取值范围是-2＜a≤0

Answer 1

分析 作出函数y=f（x）和y=x+a的图象．利用函数y=f（x）的图象及两个图象的交点个数问题确定a的取值范围．

解答 解：若0≤x≤2，则-2≤x-2≤0，
∴f（x）=2f（x-2）=2（1-|x-2+1|）=2-2|x-1|，0≤x≤2．
若2≤x≤4，则0≤x-2≤2，∴f（x）=4-4|x-3|，
如图所示，
由图象可知，f（x）的单调递减区间为[2n-3，2n-2]，故A正确；
f（x）的值域为[0，+∞），故B正确；
函数f（x）在[0，+∞）上的对称轴为x=n，∴方程f（x）=1在区间[-2，2n]上所有根的个数为2n+1（n∈N），故C正确；
设y=f（x）和y=x+a，则方程f（x）=x+a在区间[-2，4]内有3个不等实根，、
等价为函数y=f（x）和y=x+a在区间[-2，4]内有3个不同的零点．
作出函数f（x）和y=x+a的图象，如图：
当直线经过点A（2，0）时，两个图象有2个交点，此时直线y=x+a为y=x-2，
当直线经过点O（0，0）时，两个图象有4个交点，此时直线y=x+a为y=x，
当直线经过点B（3，4）和C（1，2）时，两个图象有3个交点，此时直线y=x+a为y=x+1，
∴要使方程f（x）=x+a在区间[-2，4]内有3个不等实根，
则a=1或-2＜a＜0，故D不正确．
故选：D．

点评 本题主要考查方程根的个数的应用，将方程转化为函数，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．