题目内容
【题目】已知抛物线在第一象限内的点
到焦点
的距离为
.
(1)若,过点
,
的直线
与抛物线相交于另一点
,求
的值;
(2)若直线与抛物线
相交于
两点,与圆
相交于
两点,
为坐标原点,
,试问:是否存在实数
,使得
的长为定值?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)
时,
,
的长为定值.
【解析】试题分析:(1)根据抛物线的性质可得到焦点
的距离为
可得出
,求出
的方程,联立抛物线
,故而可得
,
,即可得最后结果;(2)设出直线
的方程为
,设
,与抛物线方程联立,运用韦达定理得
,
,由
,得
,将
,
代入可得
的值,利用直线截圆所得弦长公式得
,故当
时满足题意.
试题解析:(1)∵点,∴
,解得
,
故抛物线的方程为:
,当
时,
,
∴的方程为
,联立
可得,
,
又∵,
,∴
.
(2)设直线的方程为
,代入抛物线方程可得
,
设
,则
,
,①
由得:
,
整理得,②
将①代入②解得,∴直线
,
∵圆心到直线l的距离,∴
,
显然当时,
,
的长为定值.
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