Question

【题目】如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．

（1）求证：DE∥平面PBC；

（2）求证：AB⊥PE；

（3）求三棱锥P﹣BEC的体积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】试题分析：（I）根据三角形中位线定理，证出DE∥BC，再由线面平行判定定理即可证出DE∥面PBC；

（II）连结PD，由等腰三角形“三线合一”，证出PD⊥AB，结合DE⊥AB证出AB⊥平面PDE，由此可得AB⊥PE；

（III）由面面垂直性质定理，证出PD⊥平面ABC，得PD是三棱锥P﹣BEC的高．结合题中数据算出PD=且S△BEC=，利用锥体体积公式求出三棱锥P﹣BEC的体积，即得三棱锥B﹣PEC的体积．

解：（I）∵△ABC中，D、E分别为AB、AC中点，∴DE∥BC

∵DE面PBC且BC面PBC，∴DE∥面PBC；

（II）连结PD

∵PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB

∵DE∥BC，BC⊥AB，∴DE⊥AB，

又∵PD、DE是平面PDE内的相交直线，∴AB⊥平面PDE

∵PE平面PDE，∴AB⊥PE；

（III）∵PD⊥AB，平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB

∴PD⊥平面ABC，可得PD是三棱锥P﹣BEC的高

又∵PD=，S△BEC=S△ABC=

∴三棱锥B﹣PEC的体积V=VP﹣BEC=S△BEC×PD=