题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,求
的单调区间;
(2)若对,都有
成立,求
的取值范围;
(3)当时,求
在
上的最大值.
【答案】(1)(2)
(3)
【解析】试题分析:(1)将a=1代入求出函数的表达式,通过求导令导函数大于0,从而求出函数的单调递增区间;(2)问题转化为对1≤x≤e恒成立.记h(x)=
,通过求导得到h(x)的单调性,从而求出a的范围;(3)先求出函数的导数,通过讨论当0<x<ln2k时,当ln2k<x<k时的情况,从而得到函数f(x)的最大值.
试题解析:
⑴时,
,
,令
,得
,解得
.
所以函数的单调增区间为
.
⑵由题意 对
恒成立,因为
时,
, 所以
对
恒成立.记
,因为
对
恒成立,当且仅当
时
,所以
在
上是增函数,
所以,因此
.
⑶ 因为,由
,得
或
(舍).
可证对任意
恒成立,所以
,
因为,所以
,由于等号不能同时成立,所以
,于是
.
当时,
,
在
上是单调减函数;
当时,
,
在
上是单调增函数.
所以,
记,
,以下证明当
时,
.
,记
,
对
恒成立,
所以在
上单调减函数,
,
,所以
,使
,
当时,
,
在
上是单调增函数;当
时,
,
在
上是单调减函数.又
,所以
对
恒成立,
即对
恒成立,所以
.
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