Question

【题目】已知函数， ，若曲线和曲线在处的切线都垂直于直线．

（Ⅰ）求， 的值．

（Ⅱ）若时， ，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）， （Ⅱ）的取值范围是．

【解析】试题分析：

（Ⅰ）根据导数的几何意义求解即可。（Ⅱ）由（Ⅰ）设，则，故只需证即可。由题意得，即，又由，得， ，分， ， 三种情况分别讨论判断是否恒成立即可得到结论。

试题解析：

（I）∵，

∴， ，

由题意得 ， ，

解得， ．

∴ ， ．

（II）由（I）知， ，

设，

则，

由题设可得，即，

令，得， ．

（i）若，则，

从而当时， ， 单调递减，

当时， ， 单调递增，

故在的最小值为，

而，

故当时， ，即恒成立．

（ii）若，

则，

从而当时， ，即在单调递增，

而，

故当时， ，即恒成立．

（iii）若， ，

则在上单调递增，

而，

从而当时， 不可能恒成立，

综上可得的取值范围是．