Question

【题目】若定义在上的函数，其图象是连续不断的，且存在常数使得对任意的实数都成立，则称是一个“特征函数”则下列结论中正确的个数为（ ）．

①是常数函数中唯一的“特征函数”；

②不是“特征函数”；

③“特征函数”至少有一个零点；

④是一个“特征函数”；．

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】分析：利用新定义“特征函数”，逐个判断即可得到答案.

详解：对于①设是一个“特征函数”，则，当时，可以取实数集，因此不是唯一一个常数“特征函数”，故①错误；

对于②，∵，∴，即，

∴当时，；时，有唯一解，

∴不存在常数使得对任意实数都成立，

∴不是“特征函数”，故②正确；

对于③，令得，所以，

若，显然有实数根；若，．

又∵的函数图象是连续不断的，∴在上必有实数根，

因此任意的“特征函数”必有根，即任意“特征函数”至少有一个零点，故③正确；

对于④，假设是一个“特征函数”，则对任意实数成立，则有，而此式有解，所以是“特征函数”，故④正确．

综上所述，结论正确的是②③④，共个．

故选．