题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,已知曲线上的动点
到点
的距离与到直线
的距离相等.
(1)求曲线的轨迹方程;
(2)过点分别作射线
、
交曲线
于不同的两点
、
,且
.试探究直线
是否过定点?如果是,请求出该定点;如果不是,请说明理由.
【答案】(1) (2) 直线
过定点
.
【解析】
(1)根据题意得到,化简得到答案.
(2)设直线的方程为
,联立方程利用韦达定理得到
,
,根据
得到
,故
代入方程得到答案.
(1)设,依题意
,即
,
化简得,∴曲线
的轨迹方程为
.
(2)直线经过定点
证明:如图,依题意,直线斜率不能为0,所以设直线
的方程为
联立得
,
①,
设、
,则
,
.
又,∴
,即
,
即,
又,
,∴
,
∴,
依题意,直线不经过
,∴
,
所以,.此时代入①式恒成立.
而当时,直线
方程为
,即
,
即直线过定点
.
综上,直线过定点
.
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