题目内容
【题目】设椭圆M:的左顶点为
、中心为
,若椭圆M过点
,且
.
(1)求椭圆M的方程;
(2)若△APQ的顶点Q也在椭圆M上,试求△APQ面积的最大值;
(3)过点作两条斜率分别为
的直线交椭圆M于
两点,且
,求证:直线
恒过一个定点.
【答案】(1)(2)
(3)
【解析】(1)由,可知
,
又点坐标为
故
,可得
,
因为椭圆M过点,故
,可得
,
所以椭圆M的方程为.
(2)AP的方程为,即
,
由于是椭圆M上的点,故可设
,
所以
当,即
时,
取最大值.
故的最大值为
.
法二:由图形可知,若取得最大值,则椭圆在点
处的切线
必平行于
,且在直线
的下方.
设方程为
,代入椭圆M方程可得
,
由,可得
,又
,故
.
所以的最大值
.
(3)直线方程为
,代入
,可得
,
,
又故
,
,
同理可得,
,又
且
,可得
且
,
所以,
,
,
直线的方程为
,
令,可得
.
故直线过定点
.
(法二)若垂直于
轴,则
,
此时与题设矛盾.
若不垂直于
轴,可设
的方程为
,将其代入
,
可得,可得
,
又,
可得,
故,
可得或
,又
不过
点,即
,故
.
所以的方程为
,故直线
过定点
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目