题目内容
【题目】设数列的前
项和为
,若
,则称
是“
数列”.
(1)若是“
数列”,且
,
,
,
,求
的取值范围;
(2)若是等差数列,首项为
,公差为
,且
,判断
是否为“
数列”;
(3)设数列是等比数列,公比为
,若数列
与
都是“
数列”,求
的取值范围.
【答案】(1); (2)见解析; (3)
.
【解析】
(1)根据数列的新定义,列出不等式组且
,,即可求解;
(2)由等差数列,得到
,进而得出
,再由
的单调性,得到
,即可得到结论;
(3)设等比数列的公比为
,分
和
时,结合数列的新定义,即可作差判定.
(1)由题意,数列满足
,称
是“
数列”,
又由,
,
,
,可得
且
,
解得,即
的取值范围是
.
(2)由题意,数列的通项公式为
,
则,
又由,可得数列
随着
的增大而减小,
所以当时,
取得最大值,所以
,
所以数列是“
数列”.
(3)由题意得,等比数列的公比为
,
由数列是“G的数列”,可得
,即
,
①当时,所以
,则
,符合题意,
②当时,则
,则
,
因为数列是“G的数列”,所以
对
恒成立,
(i)当时,
,
即对
恒成立,
因为,
所以,
所以当时,
对
恒成立;
(ii)当时,
,
即对
恒成立,
因为,
所以,解得
,
又,所以不存在
满足题意,
综上可得,数列的公比
的取值范围是
.
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练习册系列答案
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件工艺品测得重量(单位:
)数据如下表:
分组 | 频数 | 频率 |
合计 |
(1)求出频率分布表中实数,
的值;
(2)若从仿制的件工艺品重量范围在
的工艺品中随机抽选
件,求被抽选
件工艺品重量均在范围
中的概率.