Question

18．定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数$f（x）=1+a•{（{\frac{1}{2}}）^x}+{（{\frac{1}{4}}）^x}$；
（1）当a=1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以4为上界的有界函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过a=1，换元t=$\frac{1}{{2}^{x}}$，配方，即得结论；
（2）通过（1）可知g（t）=（t+$\frac{a}{2}$）²+1-$\frac{{a}^{2}}{4}$，分-$\frac{a}{2}$＜0、-$\frac{a}{2}$＞1、0≤-$\frac{a}{2}$≤1三种情况讨论即可．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=1+$\frac{1}{{2}^{x}}$+$\frac{1}{{4}^{x}}$，
令t=$\frac{1}{{2}^{x}}$，则t＞1，
∴y=1+t+t²=（t+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
∵t＞1，∴y＞$（\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{3}{4}$=3，
∴函数f（x）在（-∞，0）上不是有界函数；
（2）由（1）可知当x∈[0，+∞）时，0＜t≤1，
∵函数f（x）在[0，+∞）上是以4为上界的有界函数，
∴|t²+at+1|≤4对任意t∈（0，1]恒成立，
令g（t）=t²+at+1=（t+$\frac{a}{2}$）²+1-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
则g（0）=1，g（1）=a+2，
①若-$\frac{a}{2}$＜0即a＞0时，只需g（1）=a+2≤4即可，
∴0＜a≤2；
②若-$\frac{a}{2}$＞1即a＜-2时，只需|g（1）|=|a+2|≤4即可，
∴-6≤a＜-2；
③若0≤-$\frac{a}{2}$≤1即-2≤a≤0时，
则只需|a+2|≤4且|1-$\frac{{a}^{2}}{4}$|≤4即可，
∴-2≤a≤0；
综上所述，-6≤a≤2．

点评 本题考查函数的最值，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．