题目内容
【题目】对数函数g（x）=1ogax（a＞0，a≠1）和指数函数f（x）=ax（a＞0，a≠1）互为反函数．已知函数f（x）=3x，其反函数为y=g（x）．
（Ⅰ）若函数g（kx2+2x+1）的定义域为R，求实数k的取值范围；
（Ⅱ）若0＜x1＜x2且|g（x1）|=|g（x2）|，求4x1+x2的最小值；
（Ⅲ）定义在I上的函数F（x），如果满足：对任意x∈I，总存在常数M＞0，都有-M≤F（x）≤M成立，则称函数F（x）是I上的有界函数，其中M为函数F（x）的上界．若函数h（x）=
，当m≠0时，探求函数h（x）在x∈[0，1]上是否存在上界M，若存在，求出M的取值范围，若不存在，请说明理由．
【答案】（Ⅰ）k＞1；（Ⅱ）4；（Ⅲ）见解析
【解析】
（Ⅰ）因为g（x）=1ogax与f（x）=3x，互为反函数，所以a=3，得g（kx2+2x+1）= log3（kx2+2x+1）的定义域为R，所以kx2+2x+1＞0恒成立，可求解k的范围；（Ⅱ）由|g（x1）|=|g（x2）|，得|log3x1|=|log3x2|，分析化简得x1x2=1，4x1+x2=4x1+
，利用双勾函数求其最值；（Ⅲ）由h（x）=
=－1+
，分m＞0和m＜0分别求出h（x）的取值范围，然后讨论其上下界.
（Ⅰ）由题意得g（x）=log3x，
因为g（kx2+2x+1）=log3（kx2+2x+1）的定义域为R，
所以kx2+2x+1＞0恒成立，
当k=0时不满足条件，
当k≠0时，若不等式恒成立，
则
，即
，
解得k＞1；
（Ⅱ）由|g（x1）|=|g（x2）|，得|log3x1|=|log3x2|，
因为0＜x1＜x2，
所以0＜x1＜1＜x2，且－log3x1=log3x2，
所以log3x1+log3x2=log3x1x2=0，
所以x1x2=1，
所以则4x1+x2=4x1+，0＜x1＜1，
因为函数y=4x+
在（0，
）上单调递减，在（，1）上单调递增，
所以当x1=时，4x1+x2取得最小值为4．
（Ⅲ）h（x）==－1+，（m≠0），
（i）当m＞0，1+m3x＞1，则h（x）在[0，1]上单调递减，
所以
≤h（x）≤
，
①若||≥||，即m∈（0，
]时，存在上界M，M∈[||，+∞），
②若||＜||，即m∈（，+∞）时，存在上界M，M∈[||，+∞），
（ii）当m＜0时，
①若－
＜m＜0时，h（x）在[0，1]上单调递增，h（x）∈[，]，存在上界M，M∈[，+∞），
②若m=－时，h（x）=－1+
在[0，1]上单调递增，h（x）∈[2，+∞），故不存在上界．
③若－1＜m＜－时，h（x）在[0，log3（－
））上单调递增，h（x）在（log3（－），1]上单调递增，h（x）∈（－∞，]∪[，+∞）故不存在上界，
④若m=－1，h（x）=－1+
在（0，1]上单调递增，h（x）∈（－∞，－2]，故不存在上界
⑤若m＜－1，h（x）在[0，1]上单调递增，h（x）∈[，]，而＜0，存在上界M，M∈[||，+∞）；
综上所述，当m＜－1时，存在上界M，M∈[||，+∞），
当－1≤m≤－时，不存在上界，
当－＜m＜0时，存在上界M，M∈[，+∞），
当m∈（0，]时，存在上界M，M∈[||，+∞），
当m∈（，+∞）时，存在上界M，M∈[||，+∞）．
