题目内容
【题目】已知曲线,直线
经过点
与
相交于
、
两点.
(1)若且
,求证:
必为
的焦点;
(2)设,若点
在
上,且
的最大值为
,求
的值;
(3)设为坐标原点,若
,直线
的一个法向量为
,求
面积的最大值.
【答案】(1)证明见解析;(2)或
;(3)
.
【解析】试题分析:(1)利用两点之间距离公式,即可求得的值,由椭圆的方程,即可求得焦点坐标,即可证
必为
的焦点;(2)利用两点之间距离公式,根据二次函数的单调性,当
时,取最大值,代入即可求得
的值;(3)求得直线
的方程,代入方程,由韦达定理,弦长公式及点到直线的距离公式,利用基本不等式的性质,即可求得
面积的最大值.
试题解析:(1) ,解得
,所以点
由于,
故的焦点为
,所以
在
的焦点上.
(2)设,则
(其中
)
对称轴,所以当
时,
取到最大值
,
故,即
,解得
或
因为,所以
.
(3) ,,将直线方程与椭圆方程联立
,消去
得,
其中恒成立。
设,则
设,令
,则
当且仅当时,等号成立,即
时,
故面积的最大值为
.
【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值,属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法:一是几何意义,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决,非常巧妙;二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题,然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法,本题(2)就是用的这种思路,利用均值不等式法求三角形最值的.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某班级举行一次知识竞赛活动,活动分为初赛和决赛两个阶段,下表是初赛成绩(得分均为整数,满分为100分)的频率分布表.
分组(分数段) | 频数(人数) | 频率 |
0.16 | ||
17 | ||
| 19 | 0.38 |
| ||
合计 | 50 | 1 |
(Ⅰ)求频率分布表中,
,
,
的值;
(Ⅱ)决赛规则如下:参加决赛的每位同学依次口答3道判断题,答对3道题获得一等奖,答对2道题获得二等奖,答对1道题获得三等奖,否则不得奖.若某同学进入决赛,且其每次答题回答正确与否均是等可能的,试列出他回答问题的所有可能情况,并求出他至少获得二等奖的概率.