Question

【题目】设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，有xf'（x）+f（x）＜0恒成立，则不等式xf（x）＞0的解集是（ ）
A.（﹣2，0）∪（2，+∞）
B.（﹣2，2）
C.（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
D.（﹣2，0）∪（0，2）

Answer 1

【答案】D
【解析】解：令g（x）=xf（x），g′（x）=xf'（x）+f（x）＜0，
∴g（x）在（0，+∞）递减，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），
∴g（﹣x）=﹣xf（﹣x）=xf（x）=g（x），
∴g（x）在R是偶函数，
∴g（x）在（﹣∞，0）递增，
而f（2）=0，故g（2）=g（﹣2）=0，
∴不等式xf（x）＞0，
∴g（x）＜g（2），∴|x|＜2，
解得：﹣2＜x＜2，
而x=0时，g（x）=0，
故不等式的解集是（﹣2，0）∪（0，2），
故选：D．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．