Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数)以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线的普通方程和极坐标方程；

（2）直线的极坐标方程为，若与的公共点为，且是曲线的中心，求的面积.

Answer 1

【答案】（1）， .（2）.

【解析】试题分析：曲线的参数方程利用平方法消去参数，得其普通方程，将， 代入普通方程并化简，可得其极坐标方程；（2）将代入极坐标方程可得，根据极径的几何意义利用韦达定理可得，再根据点到直线距离公式及三角形面积公式可得结果.

试题解析：（1）由曲线的参数方程消去参数，得其普通方程为.

将， 代入上式并化简，得其极坐标方程为.

（2）将代入得.

得.

设， ，则， ，

所以.

又由（1），知，且由（2）知直线的直角坐标方程为，所以到的距离是，所以的面积.

【名师点晴】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式， 等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，本题这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．