题目内容
【题目】已知函数是
上的奇函数.
(1)求的值;
(2)证明在
上单调递减;
(3)若对任意的,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)(2)证明见解析;(3)
【解析】
(1)利用即可求解;
(2)利用函数单调性的定义证明即可;
(3)根据函数的单调性以及奇偶性,将不等式
化为
,再根据
,由二次函数的性质,求出实数
的取值范围.
解:(1) 由函数是
上的奇函数知道其图像必经过原点,
即必有,即
,解得
(2)由(1)知.任取
且
,则
因为,所以
,所以
,
又因为且
,故
,
所以,即
所以在
上单调递减
(3) 不等式可化为
因为是奇函数,故
所以不等式又可化为
由(2)知在
上单调递减,故必有
即
因此知题设条件是:对任意的,不等式
恒成立
设,则易知当
时,
因此知当时,不等式
恒成立
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