Question

1．已知A，B，C是△ABC的三个内角．
（Ⅰ）已知$\overrightarrow m=（tanA+tanB，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow n=（1，1-tanAtanB）$，且$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$，求∠C的大小；
（Ⅱ）若向量$\overrightarrow{a}=（\sqrt{2}cos\frac{A+B}{2}，sin\frac{A-B}{2}）$，且|$\overrightarrow{α}$|=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，求证：tanAtanB为定值，并求这个定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知$\overrightarrow m=（tanA+tanB，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow n=（1，1-tanAtanB）$，且$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$，可得$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，进而由两角和的正切公式和诱导公式可得tanC=$\sqrt{3}$，进而得到∠C的大小；
（Ⅱ）由向量$\overrightarrow{a}=（\sqrt{2}cos\frac{A+B}{2}，sin\frac{A-B}{2}）$，且|$\overrightarrow{α}$|=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，可得$\overrightarrow{α}$|²=$\frac{3}{2}$=$2co{s}^{2}\frac{A+B}{2}+si{n}^{2}\frac{A-B}{2}$，利用倍角公式和两角和与差的余弦公式，可得cosAcosB=3sinAsinB，再由同角三角函数的基本关系公式，可得tanAtanB=$\frac{1}{3}$．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow m=（tanA+tanB，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow n=（1，1-tanAtanB）$，且$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$，
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=$tanA+tanB+\sqrt{3}-\sqrt{3}tanA•tanB$=0，
即$tanA+tanB=-\sqrt{3}+\sqrt{3}tanA•tanB$，
即$\frac{tanA+tanB}{1-tanA•tanB}$=tan（A+B）=-$\sqrt{3}$，
即tanC=tan[π-（A+B）]=-tan（A+B）=$\sqrt{3}$，
又由C为△ABC的内角．
∴C=60°
证明：（Ⅱ）∵向量$\overrightarrow{a}=（\sqrt{2}cos\frac{A+B}{2}，sin\frac{A-B}{2}）$，
∴|$\overrightarrow{α}$|²=$\frac{3}{2}$=$2co{s}^{2}\frac{A+B}{2}+si{n}^{2}\frac{A-B}{2}$=1+cos（A+B）+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cos（A-B），
即cos（A+B）-$\frac{1}{2}$cos（A-B）=0，
即2cos（A+B）=cos（A-B），
即2（cosAcosB-sinAsinB）=cosAcosB+sinAsinB，
即cosAcosB=3sinAsinB，
即tanAtanB=$\frac{1}{3}$

点评 本题考查的知识点是向量的数量积公式，两角和与差三角函数公式，同角三角函数的基本关系公式，是三角函数与向量的综合应用，难度中档．