Question

【题目】已知椭圆E： =1（a＞b＞0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P（ ， ）在椭圆E上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设不过原点O且斜率为 的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，
证明：︳MA︳︳MB︳=︳MC︳︳MD︳

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图，

由题意可得 ，解得a2=4，b2=1，

∴椭圆E的方程为

（2）

证明：

设AB所在直线方程为 ，

联立 ，得x2+2mx+2m2﹣2=0．

∴△=4m2﹣4（2m2﹣2）=8﹣4m2＞0，即 ．

设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），

则 ， ，

|AB|= ．

∴x0=﹣m， ，即M（ ），

则OM所在直线方程为 ，

联立 ，得 或 ．

∴C（﹣ ， ），D（ ，﹣ ）．

则︳MC︳︳MD︳=

= = ．

而︳MA︳︳MB︳= （10﹣5m2）= ．

span>∴︳MA︳︳MB︳=︳MC︳︳MD︳．

【解析】（Ⅰ）由题意可得a=2b，再把已知点的坐标代入椭圆方程，结合隐含条件求得a，b得答案；
（2）设出直线方程，与椭圆方程联立，求出弦长及AB中点坐标，得到OM所在直线方程，再与椭圆方程联立，求出C，D的坐标，把︳MA︳︳MB︳化为 ，再由两点间的距离公式求得︳MC︳︳MD︳的值得答案；
本题考查椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，训练了弦长公式的应用，考查数学转化思想方法，训练了计算能力，是中档题．
【考点精析】关于本题考查的椭圆的标准方程，需要了解椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能得出正确答案．