题目内容
【题目】已知数列{an}的首项为1,Sn为数列{an}的前n项和,Sn+1=qSn+1,其中q>0,n∈N+
(1)若a2 , a3 , a2+a3成等差数列,求数列{an}的通项公式;
(2)设双曲线x2﹣ =1的离心率为en , 且e2=2,求e12+e22+…+en2 .
【答案】
(1)
解:根据题意,数列{an}的首项为1,即a1=1,
又由Sn+1=qSn+1,则S2=qa1+1,则a2=q,
又有S3=qS2+1,则有a3=q2,
若a2,a3,a2+a3成等差数列,即2a3=a2+(a2+a3),
则可得q2=2q,(q>0),
解可得q=2,
则有Sn+1=2Sn+1,①
进而有Sn=2Sn﹣1+1,②
①﹣②可得an=2an﹣1,
则数列{an}是以1为首项,公比为2的等比数列,
则an=1×2n﹣1=2n﹣1
(2)
解:根据题意,有Sn+1=qSn+1,③
同理可得Sn=qSn﹣1+1,④
③﹣④可得:an=qan﹣1,
又由q>0,
则数列{an}是以1为首项,公比为q的等比数列,则an=1×qn﹣1=qn﹣1;
若e2=2,则e2= =2,
解可得a2= ,
则a2=q= ,即q=
,
an=1×qn﹣1=qn﹣1=( )n﹣1,
则en2=1+an2=1+3n﹣1,
故e12+e22+…+en2=n+(1+3+32+…+3n﹣1)=n+
【解析】(1)根据题意,由数列的递推公式可得a2与a3的值,又由a2 , a3 , a2+a3成等差数列,可得2a3=a2+(a2+a3),代入a2与a3的值可得q2=2q,解可得q的值,进而可得Sn+1=2Sn+1,进而可得Sn=2Sn﹣1+1,将两式相减可得an=2an﹣1 , 即可得数列{an}是以1为首项,公比为2的等比数列,由等比数列的通项公式计算可得答案;
(2)根据题意Sn+1=qSn+1,同理有Sn=qSn﹣1+1,将两式相减可得an=qan﹣1 , 分析可得an=qn﹣1;又由双曲线x2﹣ =1的离心率为en , 且e2=2,分析可得e2=
=2,解可得a2的值,由an=qn﹣1可得q的值,进而可得数列{an}的通项公式,再次由双曲线的几何性质可得en2=1+an2=1+3n﹣1 , 运用分组求和法计算可得答案;
本题考查数列的递推公式以及数列的求和,涉及双曲线的简单几何性质,注意题目中q>0这一条件.
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识点,需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系;如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题.
