Question

8．在△OAB中，D是线段AB的中点，过点A的直线l∥OD，P是直线l上的动点，若$\overrightarrow{OP}$=λ₁$\overrightarrow{OA}$+λ₂$\overrightarrow{OB}$，则λ₁-λ₂=1．

Answer 1

分析 根据条件知$\overrightarrow{AP}$和$\overrightarrow{OD}$共线，再由D为AB的中点，便得到$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+k\overrightarrow{OD}$=$（1+\frac{k}{2}）\overrightarrow{OA}+\frac{k}{2}\overrightarrow{OB}$，从而由平面向量基本定理可得到${λ}_{1}=1+\frac{k}{2}，{λ}_{2}=\frac{k}{2}$，这样便可求出λ₁-λ₂．

解答 解：$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}$；
∵l∥OD；
∴$\overrightarrow{AP}$∥$\overrightarrow{OD}$，D是AB中点；
∴存在k，使$\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{OD}=\frac{k}{2}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$；
∴$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\frac{k}{2}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$=$（1+\frac{k}{2}）\overrightarrow{OA}+\frac{k}{2}\overrightarrow{OB}$；
∴${λ}_{1}=1+\frac{k}{2}，{λ}_{2}=\frac{k}{2}$；
∴λ₁-λ₂=1．
故答案为：1．

点评 考查向量加法的几何意义，向量加法的平行四边形法则，共线向量基本定理，以及平面向量基本定理．