Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=CC₁，M为AB的中点．
（1）求证：BC₁∥平面MA₁C；
（2）求直线BC₁与平面AA₁B₁B所成角的大小．

Answer 1

（1）连接AC₁，交A₁C于O点，连接OM
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱
∴四边形AA₁C₁C是矩形，可得AO=OC₁
∵M为AB的中点，
∴OM是△A₁CB的中位线，可得OM∥BC₁，
又∵OM?平面MA₁C，BC₁?平面MA₁C
∴BC₁∥平面MA₁C；
（2）根据直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中AC⊥BC，可得CA、CB、CC₁两两垂直，
因此以C为原点，CA、CC₁、CB分别为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系
设AC=1，可得C（0，0，0），A（1，0，0），A₁（1，1，0），C₁（0，1，0），B（0，0，1），
设平面AA₁B₁B的一个法向量为

n

=（x，y，z），直线BC₁与平面AA₁B₁B所成角是α
∵

AA1

=（0，1，0），

AB

=（-1，0，1），
∴可得方程组

AA1 • n =y=0 AB • n =-x+z=0

，取x=1，得y=0，z=1
由此可得平面AA₁B₁B的法向量为

n

=（1，0，1），
∵

BC1

=（0，1，-1），
∴sinα=|cos＜

BC1

，

n

＞|=|

BC1 • n

| BC1 |•| n |

|=

1

2

∵直线BC₁与平面AA₁B₁B所成角α是锐角
∴α=30°，即直线BC₁与平面AA₁B₁B所成角为30°