题目内容
【题目】【2018届江苏省泰州中学高三12月月考】已知椭圆的中心为坐标原点,椭圆短轴长为
,动点
(
)在椭圆的准线上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求以为直径且被直线
截得的弦长为
的圆的方程;
(3)设是椭圆的右焦点,过点
作
的垂线与以
为直径的圆交于点
,求证:线段
的长为定值,并求出这个定值.
【答案】(1) (2) 圆的方程为
(3)
【解析】试题分析:(1)由已知可得b,又M在准线上,可得a,c关系,解方程即可求出a,写出椭圆标准方程;(2)利用直线与圆相交所得弦心距、半弦长、半径所成直角三角形可得出圆的方程;(3)由平几知: ,将OK,OM表示出来,代入上式整理即可求出线段
的长为定值2.
试题解析:
(1)由,得
又由点在准线上,得
,故
,∴
从而
所以椭圆方程为
(2)以为直径的圆的方程为
其圆心为,半径
因为以为直径的圆被直线
截得的弦长为
所以圆心到直线的距离
所以,解得
所以圆的方程为
(3)由平几知:
直线:
,直线
:
由得
∴
所以线段的长为定值
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