题目内容
【题目】设函数f(x)=ln(1+x).
(1)若曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=g(x),当x≥0时,f(x)≤ ,求t的最小值;
(2)当n∈N*时,证明: .
【答案】
(1)解: f(x)的导数为f′(x)= ,
f(0)=0,f′(0)=1,切线的方程为y=x,即g(x)=x,
当x≥0时,f(x)≤ ,即为
ln(x+1)﹣ ≤0,x≥0恒成立.
设h(x)=ln(x+1)﹣ ,x≥0,
h(x)≤0,h(1)≤0即t≥﹣1+2ln2>0.
h′(x)= ﹣
=
=﹣
,
当0<t< 时,0<x<
时,h′(x)>0,h(x)递增,
故0<x< 时,h(x)>h(0)=0,与x≥0,h(x)≤h(0)=0,相矛盾,则0<t<
不合题意.
当t= 时,h′(x)=﹣
<0,h(x)在[0,+∞)递减,
故当x≥0时,h(x)≤h(0)=0,因此t的最小值为 ;
(2)证明:由(1)可得ln(1+x)< ,x≥0,x=0时取得等号.
取x= ,ln
<
=
+
(
﹣
),
则ln <
+
(
﹣
),(1)
ln <
+
(
﹣
),(2)
…,ln <
+
(
﹣
),(n)
将n个不等式相加,由对数的运算性质,可得
ln2=ln(
…
)<
+
+…+
+
(
﹣
),
则
【解析】(1)求出导数,求得切线的斜率和切点,可得切线的方程,即g(x)=x.由题意可得ln(x+1)﹣ ≤0,x≥0恒成立.设h(x)=ln(x+1)﹣
,x≥0,求出导数,求得单调区间,可得最小值;(2)由(1)可得ln(1+x)<
,x≥0,x=0时取得等号.取x=
,ln
<
=
+
(
﹣
),运用对数的运算性质和累加法,及不等式的性质,即可得证.
【考点精析】关于本题考查的函数的最大(小)值与导数,需要了解求函数在
上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数
在
内的极值;(2)将函数
的各极值与端点处的函数值
,
比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值才能得出正确答案.

【题目】甲、乙两个班级共有105名学生,某次数学考试按照“大于等于85分为优秀,85分以下为非优秀”的原则统计成绩后,得到如下列联表。
优秀 | 非优秀 | 总计 | |
甲班 | 10 | ||
乙班 | 30 | ||
总计 | 105 |
已知从甲、乙两个班级中随机抽取1名学生,其成绩为优秀的概率为.
(1)请完成上面的列联表;
(2)能否有把握认为成绩与班级有关系?
【题目】响应“文化强国建设”号召,某市把社区图书阅览室建设增列为重要的民生工程.为了解市民阅读需求,随机抽取市民200人做调查,统计显示,男士喜欢阅读古典文学的有64人,不喜欢的有56人;女士喜欢阅读古典文学的有36人,不喜欢的有44人.
(1)能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关系?
(2)为引导市民积极参与阅读,有关部门牵头举办市读书交流会,从这200人中筛选出5名男代表和4名代表,其中有3名男代表和2名女代表喜欢古典文学.现从这9名代表中任选3名男代表和2名女代表参加交流会,记为参加交流会的5人中喜欢古典文学的人数,求
的分布列及数学期望
.
附:,其中
.
参考数据:
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 |
【题目】某小学为迎接校运动会的到来,在三年级招募了16名男志愿者和14名女志愿者.调查发现,男、女志愿者中分别各有10人和6人喜欢运动,其余人员不喜欢运动.
(1)根据以上数据完成2×2列联表,并说明是否有95%的把握认为性别与喜欢运动有关;
喜欢运动 | 不喜欢运动 | 总计 | |
男 | |||
女 | |||
总计 |
(2)如果喜欢运动的女志愿者中恰有4人懂得医疗救护,现从喜欢运动的女志愿者中抽取2名负责处理应急事件,求抽出的2名志愿者都懂得医疗救护的概率.
附:K2=,
P(K2≥k0) | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |