题目内容

6.设x,y∈[0,+∞),证明不等式:$\frac{1}{2}$(x+y)2+$\frac{1}{4}$(x+y)≥x$\sqrt{y}$+y$\sqrt{x}$.

分析 利用基本不等式,即可证明结论.

解答 证明:∵x,y∈[0,+∞),
∴$\frac{1}{2}$(x+y)2+$\frac{1}{4}$(x+y)=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{2}$+xy+$\frac{1}{4}$(x+y)≥xy+xy+$\frac{1}{4}$(x+y)=xy+$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{4}$y+xy≥x$\sqrt{y}$+y$\sqrt{x}$.
∴$\frac{1}{2}$(x+y)2+$\frac{1}{4}$(x+y)≥x$\sqrt{y}$+y$\sqrt{x}$.

点评 本题考查利用基本不等式证明不等式,考查学生分析解决问题的能力,比较基础.

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