Question

（本小题满分12分）如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，分别是，的中点，点在直线上，且；
（1）证明：无论取何值，总有；
（2）当取何值时，直线与平面所成的角最大？并求该角取最大值时的正切值；
（3）是否存在点，使得平面与平面所成的二面角为30º，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：见解析；
（2）当＝时，θ取得最大值，此时sinθ=,cosθ=,tanθ="2" ；
（3）不存在点P使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30º

（1）以AB，AC，AA₁分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，求出各点的坐标及对应向量的坐标，易判断，即AM⊥PN；
（2）设出平面ABC的一个法向量，表达出sinθ，利用正弦函数的单调性及正切函数的单调性的关系，求出满足条件的λ值，进而求出此时θ的正切值；
（3）假设存在，利用平面PMN与平面ABC所成的二面角为30°，则平面PMN与平面ABC法向量的夹角为30°，代入向量夹角公式，可以构造一个关于λ的方程，研究方程根的情况，即可得到结论．
证明：（1）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则A₁（0，0，1），

C

N

B₁（1，0，1）， M（0，1，），N（，0）
，，

（1）∵，∴
∴无论取何值，AM⊥PN………………………………4分
（2）∵（0，0，1）是平面ABC的一个法向量.
∴sinθ=|cos<|=
∴当＝时，θ取得最大值，此时sinθ=,cosθ=,tanθ=2 ………8分
（3）假设存在，则，设是平面PMN的一个法向量.
则得令x=3，得y=1+2,z=2-2
∴
∴|cos<>|=化简得4
∵△＝100-4413＝-108<0
∴方程（*）无解
∴不存在点P使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30º