Question

2．设函数f（x）=lnx+x²-2ax+a²，a∈R．
（1）若a=0，求函数f（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上的最大值；
（2）若函数f（x）在[$\frac{1}{3}$，2]上存在单调递增区间，求a的取值范围；
（3）当a＞$\sqrt{2}$时，求函数f（x）的极值点．

Answer 1

分析 （1）把a=0代入f（x），对其进行求导，利用导数求f（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上的最大值；
（2）对f（x）进行求导，将其转化为在区间[$\frac{1}{3}$，2]上存在于区间使得不等式g（x）＞0恒成立，根据抛物线的性质可以看出，图象开口向上，利用根与系数的关系进行求解；
（3）求出原函数的导函数为f′（x）=$\frac{2{x}^{2}-2ax+1}{x}$，可以设出h（x）=2x²-2ax+1，当a＞$\sqrt{2}$时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，再由导函数在各区间段内的符号分析出原函数的单调性，由此求出函数f（x）的极值点．

解答 解：（1）当a=0时，函数f（x）=lnx+x²的定义域为（0，+∞），f′（x）=$\frac{1}{x}$+2x＞0，
∴f（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上是增函数，
当x=1时，f（x）取得最大值f（1）=1，∴f（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上的最大值为1；
（2）f′（x）=$\frac{1}{x}$+2x-2a=$\frac{2{x}^{2}-2ax+1}{x}$，设g（x）=2x²-2ax+1，
由题意知，在区间[$\frac{1}{3}$，2]上存在区间使得不等式g（x）＞0恒成立，
由于抛物线g（x）=2x²-2ax+1开口向上，
∴只要g（2）＞0，或g（$\frac{1}{3}$）＞0即可，
由g（2）＞0，即8-4a+1＞0，∴a＜$\frac{9}{4}$，
由g（$\frac{1}{3}$）＞0，即$\frac{2}{9}-\frac{2a}{3}$+1＞0，∴a＜$\frac{11}{6}$，
∴a＜$\frac{9}{4}$，
即实数a的取值范围（-∞，$\frac{9}{4}$）；
（3）∵f′（x）=$\frac{2{x}^{2}-2ax+1}{x}$，设h（x）=2x²-2ax+1，
当a＞$\sqrt{2}$时，△=4a²-8＞0．
当x＜$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$或x＞$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$时，h（x）＞0，这时f′（x）＞0，
∴f（x）的增区间为（0，$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$），（$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$，+∞）；
当$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$＜x＜$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$时，h（x）＜0，这时f′（x）＜0，
∴f（x）的减区间为（$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$，$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$）．
∴当a＞$\sqrt{2}$时，x=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$是函数f（x）的极大值点；
x=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$是函数f（x）的极小值点．

点评 此题主要考查利用导数研究求闭区间上的最值问题，此题综合性比较强，这类题型是高考的热点问题，解的过程中我们用到了分类讨论和转化的思想，是压轴题．