Question

1．如图，已知△ABC，A（7，8），B（3，5），C（4，3），M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F．
（1）求：$\overrightarrow{DF}$．
（2）求∠BAC的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据向量的坐标公式进行计算即可求：$\overrightarrow{DF}$．
（2）利用数量积的应用即可求∠BAC的余弦值．

解答 解：（1）∵A（7，8），B（3，5），C（4，3），
∴$\overrightarrow{AB}$=（-4，-3），$\overrightarrow{AC}$=（-3，-5），
∵D是BC的中点，
∴$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=（$-\frac{7}{2}$，-4），
∵M，N分别是AB，AC的中点，
∴F是AD的中点，
∴$\overrightarrow{DF}=-\overrightarrow{FD}=-\frac{1}{2}（-\frac{7}{2}，-4）$=（$\frac{7}{4}$，2）．
（2）∵$\overrightarrow{AB}$=（-4，-3），$\overrightarrow{AC}$=（-3，-5），
∴cos∠BAC=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{-4×（-3）+（-3）×（-5）}{5×\sqrt{34}}$=$\frac{27\sqrt{34}}{170}$．

点评 本题主要考查平面向量的基本运算以及利用数量积求向量夹角问题，比较基础．