题目内容
已知函数f（x）=x+
，
（1）证明函数f（x）是奇函数；
（2）若a=1，求证函数在区间[1，+∞）上单调递增；
（3）若函数在区间[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围．
| a |
| x |
（1）证明函数f（x）是奇函数；
（2）若a=1，求证函数在区间[1，+∞）上单调递增；
（3）若函数在区间[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围．
（1）函数的定义域是x∈R，且x≠0，又f（-x）=（-x）+
=-（x+
）=-f（x），所以f（x）是奇函数；
（2）当a=1时，任取x1，x2∈[1，+∞），且1≤x1＜x2，则f（x2）-f（x1）=（x2+
）-（x1+
）=（x2-x1）+
=
；
∵x2-x1＞0，x1x2＞1，∴x1x2-1＞0，∴f（x2）-f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），
∴函数在区间[1，+∞）上是增函数；
（3）因为函数在区间[1，+∞）上是增函数，设1≤x1＜x2，则x2-x1＞0，x1x2＞1，
所以f（x2）-f（x1）=（x2+
）-（x1+
）=（x2-x1）+
=
＞0，
∴x1x2-a＞0，
∴a＜x1x2，故a≤1，所以a的取值范围是：[1，+∞）．
| a |
| -x |
| a |
| x |
（2）当a=1时，任取x1，x2∈[1，+∞），且1≤x1＜x2，则f（x2）-f（x1）=（x2+
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| x1 |
| x1-x2 |
| x1x2 |
| (x2-x1)(x1x2-1) |
| x1x2 |
∵x2-x1＞0，x1x2＞1，∴x1x2-1＞0，∴f（x2）-f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），
∴函数在区间[1，+∞）上是增函数；
（3）因为函数在区间[1，+∞）上是增函数，设1≤x1＜x2，则x2-x1＞0，x1x2＞1，
所以f（x2）-f（x1）=（x2+
| a |
| x2 |
| a |
| x1 |
| a(x1-x2) |
| x1x2 |
| (x2-x1)(x1x2-a) |
| x1x2 |
∴x1x2-a＞0，
∴a＜x1x2，故a≤1，所以a的取值范围是：[1，+∞）．
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