Question

2．已知t为常数，y=|x²-x-t|在区间[0，3]上的最大值为2，则t=$\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 本题应先画出函数的大体图象，利用数形结合的方法寻找解题的思路．画出大体图象后不难发现函数的最大值只能在x=0.5或x=3处取得，因此分情况讨论解决此题

解答 解：记g（x）=x²-x-t，x∈[0，3]，
则y=f（x）=|g（x）|，x∈[0，3]
f（x）图象是把函数g（x）图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，
其对称轴为x=$\frac{1}{2}$，则f（x）最大值必定在x=3或x=$\frac{1}{2}$处取得
（1）当在x=3处取得最大值时f（3）=|3²-3-t|=2，
解得t=4或8，
当t=6时，此时，f（0）=6＞2不符条件，
当t=8时，此时，f（0）=8＞2，不符合条件．
（2）当最大值在x=$\frac{1}{2}$处取得时f（$\frac{1}{2}$）=|$（\frac{1}{2}）$²-$\frac{1}{2}$-t|=2，
解得t=$\frac{7}{4}$或-$\frac{9}{4}$，
当t=$\frac{7}{4}$时，f（0）=$\frac{7}{4}$＜2符合条件，
当t=-$\frac{9}{4}$此时，f（0）=$\frac{9}{4}$＞2，不符合条件．
综上t=$\frac{7}{4}$时
故答案为：$\frac{7}{4}$．

点评 本题主要考查二次函数的图象性质和绝对值对函数图象的影响变化．