Question

12．已知抛物线x²=2py（p＞0）的焦点与双曲线x²-y²=-$\frac{1}{2}$的一个焦点重合；且在抛物线上有一动点P到x轴的距离为m，P到直线l：2x-y-4=0的距离为n，则m+n的最小值为$\sqrt{5}$-1．

Answer 1

分析 先求出抛物线的方程，根据抛物线的定义，可得m+n最小值是焦点到直线l₁：2x-y-4=0的距离减去1，由点到直线的距离公式可得结论．

解答 解：双曲线x²-y²=-$\frac{1}{2}$的一个焦点为（0，1），∴抛物线的方程为x²=4y，
根据抛物线的定义，可得m+n最小值是焦点到直线l₁：2x-y-4=0的距离减去1．
由点到直线的距离公式可得焦点到直线l₁：2x-y-4=0的距离d=$\frac{5}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$，
∴m+n的最小值为$\sqrt{5}$-1．
故答案为：$\sqrt{5}$-1．

点评 本题考查抛物线的定义，考查点到直线的距离公式，考查学生分析转化问题的能力，属于中档题．