题目内容

【题目】定义域为R的函数fx)满足:对于任意的实数xy都有fx+y=fx+fy)成立,且当x0时,fx)>0恒成立,且nfx=fnx).(n是一个给定的正整数).

1)判断函数fx)的奇偶性,并证明你的结论;

2)证明fx)为减函数;若函数fx)在[-25]上总有fx)≤10成立,试确定f1)应满足的条件;

3)当a0时,解关于x的不等式

【答案】(1)见解析;(2)f1[-50);(3)见解析

【解析】

1)利用函数奇偶性的定义,结合抽象函数关系,利用赋值法进行证明

2)结合函数单调性的定义以及最值函数成立问题进行证明即可

3)利用抽象函数关系,结合函数奇偶性和单调性定义转化为一元二次不等式,讨论参数的范围进行求解即可

1fx)为奇函数,证明如下;

由已知对于任意实数xy都有fx+y=fx+fy恒成立.

x=y=0,得f0+0=f0+f0),所以f0=0

y=-x,得fx-x=fx+f-x=0

所以对于任意x,都有f-x=-fx).

所以fx)是奇函数.

2)设任意x1x2x1x2,则x2-x10,由已知fx2-x1)<0

fx2-x1=fx2+f-x1=fx2-fx1)<0fx2)<fx1),

根据函数单调性的定义和奇函数的性质知fx)在(-∞,+∞)上是减函数.

所以fx)在[-25]上的最大值为f-2).

要使fx)≤10恒成立,当且仅当f-2)≤10,

又因为f-2=-f2=-f1+1=-2f1,所以f1)≥-5.

x1fx)<0,所以f1)∈[-50).

3)∵.,

fax2-fa2x)>n2[fx-fa]

所以fax2-a2x)>n2fx-a),

所以fax2-a2x)>f[n2x-a]

因为fx(-∞,+∞)上是减函数,

所以ax2-a2xn2x-a).

即(x-a)(ax-n2)<0

因为a0,所以(x-a)(x)>0

讨论:

①当a0,即a-n时,原不等式的解集为{x|xxa}

②当a=,即a=-n时,原不等式的解集为{x|x≠-n}

③当a0,即-na0时,原不等式的解集为{x|xax}

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