题目内容
如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是AA1、D1C1的中点，过D、M、N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l；（1）画出直线l；
（2）设l∩A1B1=P，求PB1的长；
（3）求D到l的距离．
分析：（1）根据正方体的几何特征，我们易得连接DM并延长交D1A1的延长线于Q．连接NQ，即可得到满足条件的直线l；
（2）若l∩A1B1=P，即QN∩A1B1=P，我们易根据三角形相似的性质得到A1是QD1的中点．进而求出PB1的长；
（3）作D1H⊥l于H，连接DH，根据正方体的几何特征，易得DH⊥l，即DH的长就是D到l的距离．解Rt△QD1N即可得到答案．
（2）若l∩A1B1=P，即QN∩A1B1=P，我们易根据三角形相似的性质得到A1是QD1的中点．进而求出PB1的长；
（3）作D1H⊥l于H，连接DH，根据正方体的几何特征，易得DH⊥l，即DH的长就是D到l的距离．解Rt△QD1N即可得到答案．
解答：解：（1）连接DM并延长交D1A1的延长线于Q．连接NQ，
则NQ即为所求的直线l．
（2）设QN∩A1B1=P，△A1MQ≌△MAD，
∴A1Q=AD=A1D1，A1是QD1的中点．
∴A1P=
D1N=
．∴PB1=
a．
（3）作D1H⊥l于H，连接DH，可证明l⊥平面DD1H，则DH⊥l，则DH的长就是D到l的距离．
在Rt△QD1N中，两直角边D1N=
，D1Q=2a，斜边QN=
a，∴D1H•QN=D1N•D1Q，即D1H=
a，DH=
=
a，∴D1到l的距离为
a．
则NQ即为所求的直线l．
（2）设QN∩A1B1=P，△A1MQ≌△MAD，
∴A1Q=AD=A1D1，A1是QD1的中点．
∴A1P=
| 1 |
| 2 |
| a |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
（3）作D1H⊥l于H，连接DH，可证明l⊥平面DD1H，则DH⊥l，则DH的长就是D到l的距离．
在Rt△QD1N中，两直角边D1N=
| a |
| 2 |
| ||
| 2 |
2
| ||
| 17 |
(
|
| ||
| 17 |
| ||
| 17 |
点评：本题考查的知识点是棱柱的结构特征，点到直线的距离计算，其中熟练掌握正方体的几何特征，是解答本题的关键．
练习册系列答案
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，④
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