Question

10．已知函数f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{4}$）．
（1）求函数的最值及相应的x值集合；       
（2）求函数的单调区间；
（3）求函数f（x）的图象的对称轴与对称中心．

Answer 1

分析 （1）根据正弦函数的最值性质即可求函数的最值及相应的x值集合；       
（2）根据三角函数的单调性即可求函数的单调区间；
（3）根据三角函数的对称性即可求函数f（x）的图象的对称轴与对称中心．

解答 解：（1）当sin（2x-$\frac{π}{4}$）=1，即2x-$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
即x=kπ+$\frac{3π}{8}$，k∈Z，此时函数取得最大值为2；
故f（x）的最大值为2，使函数取得最大值的x的集合为{x|x=$\frac{3π}{8}$+kπ，k∈Z}；
（2）由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，得-$\frac{π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{3π}{8}$+kπ，k∈Z．
∴函数f（x）的单调递增区间为[-$\frac{π}{8}$+kπ，$\frac{3π}{8}$+kπ]，k∈Z．
由$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，得$\frac{3π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{5π}{8}$+kπ，k∈Z．
∴函数f（x）的单调递减区间为[$\frac{3π}{8}$+kπ，$\frac{5π}{8}$+kπ]，k∈Z．
（3）由2x-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$+kπ，得x=$\frac{3π}{8}$+$\frac{1}{2}$kπ，k∈Z．
即函数f（x）的图象的对称轴为x=$\frac{3π}{8}$+$\frac{1}{2}$kπ，k∈Z．
由2x-$\frac{π}{4}$=kπ，得x=$\frac{π}{8}$+$\frac{1}{2}$kπ，k∈Z．即对称中心为（$\frac{π}{8}$+$\frac{1}{2}$kπ，0），k∈Z．．

点评 本题考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的性质，关键是学生应熟悉教材基本内容，是中档题．