题目内容

3．已知函数f（x）=sinωx（0＜ω＜2）在区间，[0，$\frac{π}{3}$]上单调递增，在区间[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]单调递减；如图，四边形OACB中，a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，且满足$\frac{sinB+sinC}{sinA}$=$\frac{\frac{4ω}{3}-cosB-cosC}{cosA}$．
（1）证明：b+c=2a；
（2）若b=c，设∠AOB=θ，（0＜θ＜π），OA=2OB=2，求四边形OACB面积的最大值．

分析 （1）由题意知 $\frac{2π}{ω}$=$\frac{4π}{3}$，解之可得ω，代入已知条件化简可得sinC+sinB=2sinA，再由正弦定理可得b+c=2a；
（2）由条件和（1）的结论可得△ABC为等边三角形，可得SOACB=S△OAB+S△ABC=$\frac{1}{2}$OA•OBsinθ+$\frac{\sqrt{3}}{4}$AB2，可化简为2sin（θ-$\frac{π}{3}$）+$\frac{5\sqrt{3}}{4}$，由θ的范围可得结论．

解答 证明：（1）由题意知：$\frac{2π}{ω}$=$\frac{4π}{3}$，解得ω=$\frac{3}{2}$ …（2分）
∵$\frac{sinB-sinC}{sinA}$=$\frac{\frac{4ω}{3}-cosA•cosC}{cosA}$，
∴sinBcosA+sinCcosA=2sinA-cosBsinA-cosCsinA，
∴sinBcosA+cosBsinA+sinCcosA+cosCsinA=2sinA，
∴sin（A+B）+sin（A+C）=2sinA…（4分）
∴sinC+sinB=2sinA，
∴b+c=2a…（6分）
解：（2）因为b+c=2a，b=c，所以a=b=c，所以△ABC为等边三角形，
SOACB=S△OAB+S△ABC=$\frac{1}{2}$OA•OBsinθ+$\frac{\sqrt{3}}{4}$AB2，…（8分）
=sinθ+$\frac{\sqrt{3}}{4}$（OA2+OB2-2OA•OBcosθ）…（9分）
=sinθ-$\sqrt{3}$cosθ+$\frac{5\sqrt{3}}{4}$=2sin（θ-$\frac{π}{3}$）+$\frac{5\sqrt{3}}{4}$，…（10分）
∵θ∈（0，π），∴θ-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），
当且仅当θ-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即θ=$\frac{5π}{6}$时取最大值，SOACB的最大值为2+$\frac{5\sqrt{3}}{4}$…（12分）

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及余弦定理和三角形的面积，属中档题．

练习册系列答案
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