题目内容

13.已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的弦AB过以P(-8,-10)为中点,
(1)求直线AB的方程.
(2)若O为坐标原点,求三角形OAB的面积.

分析 (1)利用平方差法:设A(x1,y1),B(x2,y2),代入双曲线方程然后作差,由中点坐标公式及斜率公式可求得直线l的斜率,再用点斜式即可求得直线方程.
(2)直线代入双曲线方程,利用韦达定理求出|AB|,求出O点到AB的距离,即可求三角形OAB的面积.

解答 解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-16,y1+y2=-20,
A,B代入方程,两式相减得5(x1-x2)(x1+x2)-4(y1+y2)(y1-y2)=0,
所以kAB=1,…(4分)
而直线过P,所以AB的方程为y=x-2,经检验此方程满足条件.,…(7分)
(2)y=x-2代入$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1,可得x2+16x-36=0,
∴x1+x2=-16,x1x2=-36,
∴|AB|=$\sqrt{2}•\sqrt{1{6}^{2}+4•36}$=20$\sqrt{2}$(9分)
O点到AB的距离为$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$,…(11分)
∴所求面积为$\frac{1}{2}×20\sqrt{2}×\sqrt{2}$=20…(13分)

点评 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系,考查直线方程的求法,涉及弦中点问题,往往考虑利用“平方差法”加以解决.

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