Question

20．若△ABC的面积为$\sqrt{3}$，且角A，B，C成等差数列，b²+12=4（a+c），则△ABC的周长为6．

Answer 1

分析 由角A，B，C成等差数列，即2B=A+C，可解得：B=$\frac{π}{3}$，由△ABC的面积为$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ac，解得：ac=4，由b²+12=4（a+c），结合余弦定理可得a+c=4，b=2，从而得解．

解答 解：∵角A，B，C成等差数列，即2B=A+C，又A+B+C=π，∴解得：B=$\frac{π}{3}$，
∵△ABC的面积为$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ac，∴解得：ac=4，
∵b²+12=4（a+c），
∴由余弦定理可得：a²+c²-2accosB+12=4（a+c），解得：（a+c）²=4（a+c），
∴解得：a+c=4，b=2，
∴△ABC的周长=a+b+c=6．
故答案为：6．

点评 本题主要考查了等差数列的性质，余弦定理，三角形面积公式的应用，熟练掌握相关公式是解题的关键，属于中档题．