Question

8．已知二次函数f（x）=ax²+bx满足f（0）=f（1），且f（x）的最小值为-$\frac{1}{4}$．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若不等式f（x）≥tx-1对x∈[$\frac{1}{2}$，3]恒成立，求实数t的取值范围；
（3）设g（x）=$\frac{f（x）+1}{x}$，若方程g（x）=t-1在x∈[$\frac{1}{2}$，3]有实根，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数f（x）=ax²+bx满足f（0）=f（1），且f（x）的最小值为-$\frac{1}{4}$，构造方程组，求出a，b的值，可得函数f（x）的解析式；
（2）若不等式f（x）≥tx-1对x∈[$\frac{1}{2}$，3]恒成立，则x+$\frac{1}{x}$-1≥t对x∈[$\frac{1}{2}$，3]恒成立，结合对勾函数的图象和性质，可得实数t的取值范围；
（3）g（x）=$\frac{f（x）+1}{x}$=x+$\frac{1}{x}$-1，结合对勾函数的图象和性质，可得g（x）的值域为[1，$\frac{7}{3}$]，进而得到答案．

解答 解：（1）∵二次函数f（x）=ax²+bx满足f（0）=f（1），且f（x）的最小值为-$\frac{1}{4}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}\\ \frac{-{b}^{2}}{4a}=-\frac{1}{4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-1\end{array}\right.$，
∴f（x）=x²-x；
（2）若不等式f（x）≥tx-1对x∈[$\frac{1}{2}$，3]恒成立，
即x²-x≥tx-1对x∈[$\frac{1}{2}$，3]恒成立，
即x+$\frac{1}{x}$-1≥t对x∈[$\frac{1}{2}$，3]恒成立，
∵当x=1时，x+$\frac{1}{x}$-1取最小值1，故t≤1；
（3）g（x）=$\frac{f（x）+1}{x}$=x+$\frac{1}{x}$-1，
当x=1时，g（x）取最小值1，当x=3时，g（x）取最大值$\frac{7}{3}$，
若方程g（x）=t-1在x∈[$\frac{1}{2}$，3]有实根，
则t-1∈[1，$\frac{7}{3}$]，
故t∈[2，$\frac{10}{3}$]．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．