题目内容
8.在数列{an}中,已知a1=$\frac{1}{4}$,$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{4}$,bn=log${\;}_{\frac{1}{4}}$an(n∈N*)(Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式;
(Ⅱ)设数列{cn}满足cn=an•bn,求数列{cn}的前n项和Sn.
分析 (I)由a1=$\frac{1}{4}$,$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{4}$,利用等比数列的通项公式可得:an.利用对数的运算法则可得bn.
(II)cn=an•bn=n$(\frac{1}{4})^{n}$.利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出.
解答 解:(I)∵a1=$\frac{1}{4}$,$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{4}$,可知:数列{an}是等比数列,首项为$\frac{1}{4}$,公比为$\frac{1}{4}$,
∴an=$(\frac{1}{4})^{n}$.
∴bn=log${\;}_{\frac{1}{4}}$an=n.
(II)cn=an•bn=n$(\frac{1}{4})^{n}$.
∴数列{cn}的前n项和Sn=$\frac{1}{4}$+2$•(\frac{1}{4})^{2}$+$3×(\frac{1}{4})^{3}$+…+n$(\frac{1}{4})^{n}$.
$\frac{1}{4}$Sn=$(\frac{1}{4})^{2}+2×(\frac{1}{4})^{3}$+…+(n-1)$(\frac{1}{4})^{n}$+$n•(\frac{1}{4})^{n+1}$.
∴$\frac{3}{4}{S}_{n}$=$\frac{1}{4}+(\frac{1}{4})^{2}$+…+$(\frac{1}{4})^{n}$-n•$(\frac{1}{4})^{n+1}$=$\frac{\frac{1}{4}(1-\frac{1}{{4}^{n}})}{1-\frac{1}{4}}$-n•$(\frac{1}{4})^{n+1}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{4+3n}{3×{4}^{n+1}}$,
∴Sn=$\frac{4}{9}$-$\frac{4+3n}{9×{4}^{n}}$.
点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式与前n项和公式、对数的运算法则,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
A. | 1 | B. | -$\frac{1}{4}$ | C. | -$\frac{1}{4}$或1 | D. | -1 |
①无论x取何值,y2的值总是正数;
②a=1;
③当x=0时,y2-y1=4;
④2AB=3AC.
其中正确结论是( )
A. | ①② | B. | ②③ | C. | ③④ | D. | ①④ |
A. | 5 | B. | 7 | C. | 2$\sqrt{2}$ | D. | 9 |
A. | 16π | B. | 20π | C. | 24π | D. | 32π |