题目内容
（2013•静安区一模）设复数z=（a+cosθ）+（2a-sinθ）i（i为虚数单位），若对任意实数θ，|z|≤2，则实数a的取值范围为
[-
，
]
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| 5 |
[-
，
]
．
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| ||
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分析：首先利用复数莫得公式求模，然后利用三角函数进行化简，由|z|≤2得到不等式2
acos(θ+α)+5a2+1≤4，然后根据a的符号把该不等式分类转化为不含三角函数的不等式，求解后对a取并集即可得到答案．
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解答：解：由z=（a+cosθ）+（2a-sinθ）i，
所以|z|=
=
=
=
（tanα=2）．
因为|z|≤2，
所以2
acos(θ+α)+5a2+1≤4．
若a=0，此式显然成立，
若a＞0，由2
acos(θ+α)+5a2+1≤4，
得5a2+2
a-3≤0，解得0＜a≤
．
若a＜0，由2
acos(θ+α)+5a2+1≤4，
得5a2-2
a-3≤0，解得-
≤a＜0．
所以对任意实数θ，满足|z|≤2的实数a的取值范围为[-
，
]．
故答案为[-
，
]．
所以|z|=
| (a+cosθ)2+(2a-sinθ)2 |
=
| (2acosθ-4asinθ)+5a2+1 |
=
2
|
=
2
|
因为|z|≤2，
所以2
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若a=0，此式显然成立，
若a＞0，由2
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得5a2+2
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| ||
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若a＜0，由2
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得5a2-2
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| ||
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所以对任意实数θ，满足|z|≤2的实数a的取值范围为[-
| ||
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| ||
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故答案为[-
| ||
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| ||
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点评：本题考查了复数模的求法，考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，是中档题．
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