题目内容

【题目】如图,在正三棱柱中,DBC的中点.

(Ⅰ)证明平面

(Ⅱ)若,求直线AB与平面所成角的正弦值.

【答案】(Ⅰ) 见解析;(Ⅱ).

【解析】

(Ⅰ)以C为原点,在平面ABC中过CBC的垂线为x轴,CBy轴,CC1z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能证明A1B∥平面ADC1.(Ⅱ)利用向量法能求出直线AB与平面ADC1所成角的正弦值.

(Ⅰ)证明:以C为原点,在平面ABC中过CBC的垂线为x轴,

CBy轴,CC1z轴,建立空间直角坐标系,

,则

设平面ADC1的法向量=

,取y=2,得

平面ADC1

∴A1B∥平面ADC1

(Ⅱ)∵,∴

设平面ADC1的法向量

,取z=1,得

设直线AB与平面ADC1所成角为

∴直线AB与平面ADC1所成角的正弦值为

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