题目内容

【题目】如图,四边形ABCD中,AB⊥AD,AD∥BC,AD=8,BC=6,AB=2,E,F分别在BC,AD上,EF∥AB,现将四边形ABEF沿EF折起,使得平面ABEF⊥平面EFDC.

(1)若BE=3,求几何体BEC﹣AFD的体积;
(2)求三棱锥A﹣CDF的体积的最大值,并求此时二面角A﹣CD﹣E的正切值.

【答案】
(1)解:∵平面ABEF⊥平面EFDC,平面ABEF∩平面EFDC=EF,FD⊥EF,

∴FD⊥平面ABEF,又AF平面ABEF,

∴FD⊥AF,又AF⊥EF,FD∩EF=F,

∴AF⊥平面EFDC,

同理,CE⊥平面ABEF,

连结FC,将几何体BEC﹣AFD分成三棱锥A﹣CDF和四棱锥C﹣ABEF,

对于三棱锥A﹣CDF,棱锥高为AF=BE=3,FD=5,

∴V三棱锥ACDF= = =5,

对于四棱锥C﹣ABEF,棱锥高为CE=3,

∴V四棱锥CABEF= = =6,

∴几何体BEC﹣AFD的体积V=V三棱锥ACDF+V四棱锥CABEF=5+6=11


(2)解:设BE=x,∴AF=x(0<x≤6),FD=8﹣x,

∴V三棱锥ACDF=

∴当x=4时,V三棱锥ACDF有最大值,且最大值为

在直角梯形CDEF中,EF=2,CE=2,DF=4,

∴CF=2 ,CD=2 ,DF=4,

∴CF2+CD2=DF2,∠DCF=90°,∴DC⊥CF,

又AF⊥平面EFDC,DC平面EFDC,

∴DC⊥AF,又AF∩CF=F,∴DC⊥平面ACF,∴DC⊥AC,

∴∠ACF为二面角A﹣CD﹣E的平面角,

tan = =

∴二面角A﹣CD﹣E的正切值为


【解析】(1)推导出FD⊥平面ABEF,从而AF⊥平面EFDC,CE⊥平面ABEF,连结FC,将几何体BEC﹣AFD分成三棱锥A﹣CDF和四棱锥C﹣ABEF,由此能求出几何体BEC﹣AFD的体积.(2)设BE=x,则AF=x(0<x≤6),FD=8﹣x,V三棱锥ACDF= ,当x=4时,V三棱锥ACDF有最大值,∠ACF为二面角A﹣CD﹣E的平面角,由此能求出二面角A﹣CD﹣E的正切值.

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