Question

【题目】如图，△PAD与正方形ABCD共用一边AD，平面PAD⊥平面ABCD，其中PA=PD，AB=2，点E是棱PA的中点．

（1）求证：PC∥平面BDE；
（2）若直线PA与平面ABCD所成角为60°，求点A到平面BDE的距离．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接AC，交BD于O，连接EO，则

∵ABCD是正方形，

∴O是AC的中点，

∵点E是棱PA的中点，

∴PC∥OE，

∵OE平面BDE，BD平面BDE，

∴PC∥平面BDE

（2）解：取AD的中点N，连接PN，则

∵PA=PD，

∴PN⊥AD，

∵平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PN⊥平面ABCD，

∴∠PAN为直线PA与平面ABCD所成角∴∠PAN=60°∴PA=PD=AD=2，

∵AB⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴AB⊥平面PAD，

∴VB﹣DAE= = ，

Rt△EAB中，EA=1，AB=2，BE= ，

∵ ，BD=2 ，

∴DE⊥EB，

∴S△BDE= = ．

设点A到平面BDE的距离为h．则 ，

∴h= ，

∴点A到平面BDE的距离为 ．

【解析】（1）连接AC，交BD于O，连接EO，证明PC∥OE，即可证明PC∥平面BDE；（2）取AD的中点N，连接PN，证明∠PAN为直线PA与平面ABCD所成角，利用等体积方法求点A到平面BDE的距离．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行即可以解答此题．