题目内容
【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD的底面是梯形.BC∥AD,AB=BC=CD=1,AD=2,,
(Ⅰ)证明;AC⊥BP;
(Ⅱ)求直线AD与平面APC所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ).
【解析】
(I)取的中点,连接,通过证明平面得出;
(II)以为原点建立坐标系,求出平面的法向量,通过计算与的夹角得出与平面所成角.
(I)证明:取AC的中点M,连接PM,BM,
∵AB=BC,PA=PC,
∴AC⊥BM,AC⊥PM,又BM∩PM=M,
∴AC⊥平面PBM,
∵BP平面PBM,
∴AC⊥BP.
(II)解:∵底面ABCD是梯形.BC∥AD,AB=BC=CD=1,AD=2,
∴∠ABC=120°,
∵AB=BC=1,∴AC,BM,∴AC⊥CD,
又AC⊥BM,∴BM∥CD.
∵PA=PC,CM,∴PM,
∵PB,∴cos∠BMP,∴∠span>PMB=120°,
以M为原点,以MB,MC的方向为x轴,y轴的正方向,
以平面ABCD在M处的垂线为z轴建立坐标系M﹣xyz,如图所示:
则A(0,,0),C(0,,0),P(,0,),D(﹣1,,0),
∴(﹣1,,0),(0,,0),(,,),
设平面ACP的法向量为(x,y,z),则,即,
令x得(,0,1),
∴cos,,
∴直线AD与平面APC所成角的正弦值为|cos,|.
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