Question

7．若曲线y=$\sqrt{9-{x}^{2}}$与直线y=2x+b始终有交点，则b的取值范围是（　　）

• A． [-6，3$\sqrt{2}$]
• B． [-6，3$\sqrt{5}$]
• C． [-3$\sqrt{5}$，3$\sqrt{5}$]
• D． [-3$\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 由题意可得直线y=2x+b与半圆x²+y²=9（y≥0）有公共点，当直线过（2，0）时，求得b的值；当直线和半圆相切时，根据圆心到直线的距离等于半径求得b的值，数形结合从而得到b的取值范围．

解答 解：由题意可得直线y=2x+b与半圆x²+y²=9（y≥0）有公共点，
当直线过（3，0）时，可得0=6+b，求得b=-6．
当直线和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径可得$\frac{|b|}{\sqrt{5}}$=3，求得b=3$\sqrt{5}$，或b=-3$\sqrt{5}$（舍去），
故b的取值范围是[-6，3$\sqrt{5}$]，
故选：B．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．