Question

10．解不等式：
（1）log₃（log${\;}_{\frac{1}{3}}$x）＜1   
（2）（$\frac{1}{3}$）${\;}^{lo{g}_{\frac{1}{3}}（{x}^{2}-3x-10）}$≤27．

Answer 1

分析 （1）由对数的运算性质得到0＜log${\;}_{\frac{1}{3}}$x＜3，再由对数的运算性质得答案；
（2）由根式${a}^{lo{g}_{a}b}=b$把原不等式化为二次不等式组，求解不等式组得答案．

解答 解：（1）由log₃（log${\;}_{\frac{1}{3}}$x）＜1，
得0＜log${\;}_{\frac{1}{3}}$x＜3，即$\frac{1}{27}＜x＜1$．
∴不等式log₃（log${\;}_{\frac{1}{3}}$x）＜1 的解集为（$\frac{1}{27}，1$）；
（2）由（$\frac{1}{3}$）${\;}^{lo{g}_{\frac{1}{3}}（{x}^{2}-3x-10）}$≤27，
得0＜x²-3x-10≤27，即
$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3x-10＞0}\\{{x}^{2}-3x-10≤27}\end{array}\right.$，解得：$\frac{3-\sqrt{157}}{2}≤x＜-2$或5$＜x≤\frac{3+\sqrt{157}}{2}$．
∴不等式（$\frac{1}{3}$）${\;}^{lo{g}_{\frac{1}{3}}（{x}^{2}-3x-10）}$≤27的解集为$[\frac{3-\sqrt{157}}{2}，-2）$∪$（5，\frac{3+\sqrt{157}}{2}]$．

点评 本题考查指数不等式和对数不等式的解法，关键是熟记对数的运算性质，考查计算能力，是中档题．