Question

【题目】已知函数f（x）对任意的a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）﹣1，且当x＞0时，f（x）＞1
（1）判断并证明f（x）的单调性；
（2）若f（4）=3，解不等式f（3m2﹣m﹣2）＜2．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（a+b）=f（a）+f（b）﹣1，

令a=b=0，

∴f（0）=f（0）+f（0）﹣1，

∴f（0）=1，

令a=x，b=﹣x，

∴f（0）=f（x）+f（﹣x）﹣1，

∴f（﹣x）=2﹣f（x），

令x1＜x2，则x2﹣x1＞0，

∴f（x2﹣x1）=f（x2）+f（﹣x1）﹣1

=f（x2）+2﹣f（x1）﹣1＞1，

∴f（x2）＞f（x1），

故函数在R上单调递增；

（2）解：f（4）=2f（2）﹣1=3，

∴f（2）=2，

∴f（3m2﹣m﹣2）＜f（2），

∴3m2﹣m﹣2＜2，

∴﹣1＜m＜ ．

【解析】（1）利用特殊值方法求出f（0）=1，和换元思想令a=x，b=﹣x，得出f（﹣x）=2﹣f（x），利用定义法判定函数的单调性；（2）根据定义得出f（2）=2，根据函数的单调性求解即可．