Question

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a1=1+ 

2

，S3=9+3 

2

．
（1）求数列{a_n}的通项a_n与前n项和为S_n；
（2）设bn= 

Sn

n

（n∈N⁺），求证：数列{b_n}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

Answer 1

分析：（1）用a₁表示出S₂，进而求得d，则等差数列的通项公式和前n项的和可求．
（2）把（1）中s_n代入b_n，求得b_n，假设数列{b_n}中存在三项b_p，b_q，b_r（p，q，r互不相等）成等比数列，则根据等比中项的性质可知b_q²=b_pb_r．把b_p，b_q，b_r代入求得(q2-pr)+(2q-p-r)

2

=0进而推断出

q2-pr=0 2q-p-r=0

求得p=r，与p≠r矛盾．进而可知假设不成立．

解答：解：（1）由已知得

a1= 2 +1 3a1+3d=9+3 2

，∴d=2，
故an=2n-1+

2

，Sn=n(n+

2

)．
（2）由（Ⅰ）得bn=

Sn

n

=n+

2

．
假设数列{b_n}中存在三项b_p，b_q，b_r（p，q，r互不相等）成等比数列，则b_q²=b_pb_r．
即(q+

2

)2=(p+

2

)(r+

2

)．
∴(q2-pr)+(2q-p-r)

2

=0，
∵p，q，r∈N^*，
∴

q2-pr=0 2q-p-r=0

，
∴(

p+r

2

)2=pr，(p-r)2=0，
∴p=r．
与p≠r矛盾．
所以数列{b_n}中任意不同的三项都不可能成等比数列．

点评：本小题考查数列的基本知识，考查等差数列的概念、通项公式与前n项和公式，考查等比数列的概念与性质，考查化归的数学思想方法以及推理和运算能力．