题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)当时,求证:对任意成立.
【答案】(1); (2)见解析.
【解析】
(Ⅰ)先求导数得到切线斜率,再求解切线方程;
(Ⅱ)通过求解的最小值来比较大小.
(Ⅰ)因为
所以
当时,
所以,而
曲线在处的切线方程为
化简得到
(Ⅱ)法一:
因为,令
得
当时,,,在区间的变化情况如下表:
0 | 0 | ||||
极大值 | 极小值 |
所以在上的最小值为中较小的值,
而,所以只需要证明
因为,所以
设,其中,所以
令,得,
当时,,,在区间的变化情况如下表:
0 | |||
极小值 |
所以在上的最小值为,而
注意到,所以,问题得证
法二:
因为“对任意的,”等价于“对任意的,”
即“,”,故只需证“,”
设,所以
设,
令,得
当时,,,在区间的变化情况如下表:
0 | |||
极小值 |
所以 上的最小值为,而
所以时,,所以在上单调递增
所以
而,所以,问题得证
法三:
“对任意的,”等价于“在上的最小值大于”
因为,令
得
当时,,,在在上的变化情况如下表:
0 | 0 | ||||
极大值 | 极小值 |
所以在上的最小值为中较小的值,
而,所以只需要证明
因为,所以
注意到和,所以
设,其中
所以
当时,,所以单调递增,所以
而
所以,问题得证
法四:
因为,所以当时,
设,其中
所以
所以,,的变化情况如下表:
0 | |||
涓€棰樹竴棰樻壘绛旀瑙f瀽澶參浜� 涓嬭浇浣滀笟绮剧伒鐩存帴鏌ョ湅鏁翠功绛旀瑙f瀽绔嬪嵆涓嬭浇
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