题目内容

【题目】已知函数

(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;

(Ⅱ)当时,求证:对任意成立.

【答案】(1); (2)见解析.

【解析】

(Ⅰ)先求导数得到切线斜率,再求解切线方程;

(Ⅱ)通过求解的最小值来比较大小.

(Ⅰ)因为

所以

时,

所以,而

曲线处的切线方程为

化简得到

(Ⅱ)法一:

因为,令

时,在区间的变化情况如下表:

0

0

极大值

极小值

所以上的最小值为中较小的值,

,所以只需要证明

因为,所以

,其中,所以

,得

时,在区间的变化情况如下表:

0

极小值

所以上的最小值为,而

注意到,所以,问题得证

法二:

因为“对任意的”等价于“对任意的

即“”,故只需证“

,所以

,得

时,在区间的变化情况如下表:

0

极小值

所以 上的最小值为,而

所以时,,所以上单调递增

所以

,所以,问题得证

法三:

“对任意的”等价于“上的最小值大于

因为,令

时,在在上的变化情况如下表:

0

0

极大值

极小值

所以上的最小值为中较小的值,

,所以只需要证明

因为,所以

注意到,所以

,其中

所以

时,,所以单调递增,所以

所以,问题得证

法四:

因为,所以当时,

,其中

所以

所以的变化情况如下表:

0

涓€棰樹竴棰樻壘绛旀瑙f瀽澶參浜�
涓嬭浇浣滀笟绮剧伒鐩存帴鏌ョ湅鏁翠功绛旀瑙f瀽
绔嬪嵆涓嬭浇
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