Question

【题目】已知二次函数f（x）=x2-（2m+1）x+m．

（1）若方程f（x）=0有两个不等的实根x1，x2，且-1＜x1＜0＜x2＜1，求m的取值范围；

（2）若对任意的x∈[1，2]，≤2恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（-，0） （2）[-，+∞）

【解析】

（1）二次函数f（x）=x2-（2m+1）x+m开口向上，方程f（x）=0有两个不等的实根x1，x2，且-1＜x1＜0＜x2＜1，找到等价条件，解不等式组即可；

（2）把对任意的x∈[1，2]，≤2恒成立，等价转换为对任意的x∈[1，2]，x2-（2m+3）x+m≤0恒成立，得到关于m的不等式组，求解即可求得m的取值范围．

（1）由方程f（x）=0有两个不等的实根x1，x2，且-1＜x1＜0＜x2＜1，

则，解得-＜m＜0，

∴m的取值范围是（-，0）；

（2）对任意的x∈[1，2]，≤2恒成立，即对任意的x∈[1，2]，x2-（2m+1）x+m≤2x恒成立，

∴对任意的x∈[1，2]，x2-（2m+3）x+m≤0恒成立，

则，解得m≥-，

∴m的取值范围是[-，+∞）．