Question

【题目】已知(e为目然对数的底数).

(1)设函数，求函数的最小值；

(2)若函数在上为增函数，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) ；(2).

【解析】

（1）表示出g（x），利用导数可求得其最小值；

（2）原问题等价于a≥lnx﹣ex+1在[1，+∞）上恒成立，令h（x）＝lnx﹣ex+1（x≥1），求导后可得函数h（x）在[1，+∞）上单调递减，由a≥h（x）max，进而求得答案．

（1），函数g（x）的定义域为（0，+∞），，

令g′（x）＞0，解得x＞1，故函数g（x）在（1，+∞）单调递增，令g′（x）＜0，解得0＜x＜1，故函数g（x）在（0，1）单调递减，

∴g（x）min＝g（1）＝e﹣1+a；

（2）由题意，f′（x）＝ex﹣lnx+a﹣1≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≥lnx﹣ex+1在[1，+∞）上恒成立，

令h（x）＝lnx﹣ex+1（x≥1），则，显然h′（x）为[1，+∞）的减函数，

∴h′（x）≤h′（1）＝1﹣e＜0，

∴函数h（x）在[1，+∞）上单调递减，

∴h（x）max＝h（1）＝1﹣e，则a≥1﹣e，即实数a的取值范围为[1﹣e，+∞）．