题目内容
【题目】设直线l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中实数k1,k2满足k1k2+2=0. 证明:
(1)l1与l2相交;
(2)l1与l2的交点在曲线2x2+y2=1上.
【答案】(1)相交;(2)
【解析】
(1)利用反证法证明.假设l1与l2不相交,则l1与l2平行,有k1=k2.代入k1k2+2=0,找到矛盾.(2) 设l1与l2的交点P的坐标(x,y)满足故知x≠0,从而
代入k1k2+2=0,得,整理后,得2x2+y2=1,所以交点P在曲线2x2+y2=1上.
(1)反证法.假设l1与l2不相交,则l1与l2平行,有k1=k2.代入k1k2+2=0,得+2=0,此与k1为实数的事实相矛盾,从而k1≠k2,即l1与l2相交.
(2)l1与l2的交点P的坐标(x,y)满足故知x≠0,从而
代入k1k2+2=0,得,整理后,得2x2+y2=1,所以交点P在曲线2x2+y2=1上.
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【题目】心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30女20),给所有同学几何题和代数题各一题,让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如右表:(单位:人)
几何题 | 代数题 | 总计 | |
男同学 | 22 | 8 | 30 |
女同学 | 8 | 12 | 20 |
总计 | 30 | 20 | 50 |
附表及公式
P(k2≥k) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
K2= .
(1)能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关?
(2)经过多次测试后,甲每次解答一道几何题所用的时间在5~7分钟,乙每次解答一道几何题所用的时间在6~8分钟,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率.
(3)现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究,记甲、乙两女生被抽到的人数为 X,求 X的分布列及数学期望 EX.